Função totiente de Euler - significado, exemplos, como calcular?

O que é a função totiente de Euler?

A função Totient de Euler são as funções matemáticas multiplicativas que contam os inteiros positivos até o dado inteiro geralmente chamado de 'n', que são um número primo a 'n' e a função é usada para saber o número de números primos que existem até o dado inteiro 'n'.

Explicação

Para saber quantos números primos estão chegando ao inteiro dado 'n' a Função Totiente de Euler é usada. Também é chamada de função aritmética. Para uma aplicação ou uso da função Totient de Euler, duas coisas são importantes. Uma é que o mdc formado a partir do inteiro dado 'n' deve ser multiplicativo entre si, e o outro é que os números de mdc devem ser apenas números primos. O inteiro 'n' neste caso deve ser maior que 1. A partir de um inteiro negativo, não é possível calcular a Função Totiente de Euler. O princípio, neste caso, é que para ϕ (n), os multiplicadores chamados m e n devem ser maiores do que 1. Portanto, denotados por 1

História

Euler introduziu esta função em 1763. Inicialmente, Euler usou o grego π para a denotação da função, mas por causa de alguns problemas, sua denotação do grego π não obteve o reconhecimento. E ele falhou em dar a ele o sinal de notação apropriado, isto é, ϕ. Portanto, a função não pode ser introduzida. Além disso, ϕ foi retirado da Disquisitiones Arithmeticae de 1801 de Gauss. A função também é denominada função phi. Mas JJ Sylvester, em 1879, incluiu o termo totient para essa função por causa das propriedades e dos usos das funções. As diferentes regras são estruturadas para lidar com diferentes tipos de números inteiros, como se o inteiro p for um número primo, qual regra a ser aplicada, etc. todas as regras são estruturadas por Euler são praticáveis ​​e podem ser usadas até hoje ao lidar com o mesmo.

Propriedades da função totiente de Euler

Existem algumas das diferentes propriedades. Algumas das propriedades da função totiente de Euler são:

  • Φ é o símbolo usado para denotar a função.
  • A função lida com a teoria dos números primos.
  • A função é aplicável apenas no caso de inteiros positivos.
  • Para ϕ (n), dois números primos multiplicativos devem ser encontrados para calcular a função.
  • A função é uma função matemática e útil de várias maneiras.
  • Se o inteiro 'n' for um número primo, então mdc (m, n) = 1.
  • A função funciona na fórmula 1 <m <n onde m e n são os números primos e os números multiplicativos.
  • Em geral, a equação é
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • A função conta basicamente o número de inteiros positivos menores que o inteiro fornecido, que são números relativamente primos para o inteiro fornecido.
  • Se dado inteiro p é primo, então ϕ (p) = p - 1
  • Se a potência de p é primo, então, se a = p n é uma potência primo, então ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) não é um - um
  • ϕ (n) não está ligado.
  • ϕ (n), n> 3 é sempre par.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Calcule a função totiente de Euler

Exemplo 1

Calcule ϕ (7)?

Solução:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Como todos os números são primos até 7, ficou mais fácil calcular o ϕ.

Exemplo # 2

Calcule ϕ (100)?

Solução:

Como 100 é um número grande, é demorado calcular de 1 a 100 os números primos que são números primos com 100. Portanto, aplicamos a fórmula abaixo:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Exemplo # 3

Calcule ϕ (240)?

Múltiplos de 240 são 16 * 5 * 3, ou seja, 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

se n M não é um número primo, usamos n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Exemplo # 4

Calcule ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Formulários

As várias aplicações são as seguintes:

  • A função é usada para definir o sistema de criptografia RSA usado para criptografia de segurança da Internet.
  • Usado na teoria dos números primos.
  • Usado em grandes cálculos também.
  • Usado em aplicações da teoria elementar dos números.

Conclusão

A função totiente de Euler é útil de várias maneiras. Ele é usado no sistema de criptografia RSA, que é usado para fins de segurança. A função lida com a teoria dos números primos e também é útil no cálculo de grandes cálculos. A função também é usada em cálculos algébricos e números elementares. O símbolo usado para denotar a função é ϕ, e também é chamado de função phi. A função consiste em um uso mais teórico do que prático. O uso prático da função é limitado. A função pode ser melhor compreendida por meio de vários exemplos práticos, em vez de apenas explicações teóricas. Existem várias regras para calcular a função totiente de Euler e, para diferentes números, diferentes regras devem ser aplicadas. A função foi introduzida pela primeira vez em 1763, mas devido a alguns problemas,obteve reconhecimento em 1784, e o nome foi modificado em 1879. A função é uma função universal e pode ser aplicada em qualquer lugar.

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