Fórmula para calcular a distribuição normal padrão
A distribuição normal padrão é um tipo de distribuição de probabilidade simétrica em relação à média ou à média, mostrando que os dados próximos da média ou da média estão ocorrendo com mais frequência quando comparados aos dados que estão longe da média ou da média. Uma pontuação na distribuição normal padrão pode ser denominada como “pontuação Z”.
Fórmula de distribuição normal padrão é representada como abaixo-
Z - Pontuação = (X - µ) / σ
Onde,
- X é uma variável aleatória normal
- µ é a média ou a média
- σ é o desvio padrão
Então, precisamos derivar a probabilidade da tabela acima.
Explicação
A distribuição normal padrão em palavras de ordem denominadas distribuição Z tem as seguintes propriedades:
- Tem uma média ou diz a média zero.
- Tem um desvio padrão igual a 1.
Usando a tabela normal padrão, podemos descobrir as áreas sob a curva de densidade. O escore Z prejudica a distribuição normal padrão e deve ser interpretado como o número de desvios padrão em que o ponto de dados está abaixo ou acima da média ou da média.
Um Z-Score negativo deve indicar uma pontuação que está abaixo da média ou da média, enquanto um Z-Score positivo deve indicar que o ponto de dados está acima da média ou da média.
A distribuição normal padrão segue a Regra 68-95-99,70, que também é chamada de Regra Empírica, e de acordo com Sessenta e oito por cento dos dados ou valores fornecidos devem estar dentro de 1 desvio padrão da média ou da média, enquanto noventa e cinco por cento devem cair dentro de 2 desvios padrão e, finalmente, noventa e nove decimais sete por cento do valor ou os dados devem cair dentro de 3 desvios padrão da média ou da média.
Exemplos
Exemplo 1
Considere a média fornecida a você como 850, o desvio padrão como 100. Você deve calcular a distribuição normal padrão para uma pontuação acima de 940.
Solução:
Use os seguintes dados para o cálculo da distribuição normal padrão.
Portanto, o cálculo da pontuação z pode ser feito da seguinte forma-
Z - pontuação = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
O Z Score será -
Pontuação Z = 0,90
Agora, usando a tabela acima da distribuição normal padrão, temos um valor para 0,90 como 0,8159 e precisamos calcular a pontuação acima daquela que é P (Z> 0,90).
Precisamos do caminho certo para a mesa. Portanto, a probabilidade seria 1 - 0,8159, que é igual a 0,1841.
Assim, apenas 18,41% das pontuações situam-se acima de 940.
Exemplo # 2
Sunita tem aulas particulares de matemática e, atualmente, tem cerca de 100 alunos matriculados com ela. Após a 1 st teste tomou para seus alunos, ela tem os seguintes números médios, marcados por eles, e classificaram-los percentil-wise.
Solução:
Primeiro, traçamos o que pretendemos, que é o lado esquerdo da cura. P (Z <75).
Use os seguintes dados para o cálculo da distribuição normal padrão.
Para isso, precisamos primeiro calcular a média e o desvio padrão.
O cálculo da média pode ser feito da seguinte forma-
Média = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Média = 73,50
O cálculo do desvio padrão pode ser feito da seguinte forma-
Desvio padrão = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Desvio padrão = 16,38
Portanto, o cálculo da pontuação z pode ser feito da seguinte forma-
Z - pontuação = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
O Z Score será -
Pontuação Z = 0,09
Agora, usando a tabela acima de uma distribuição normal padrão, temos o valor de 0,09 como 0,5359 e esse é o valor de P (Z <0,09).
Assim, 53,59% dos alunos pontuaram abaixo de 75.
Exemplo # 3
Vista limited é um showroom de equipamentos eletrônicos. Ele quer analisar seu comportamento de consumidor. Possui cerca de 10.000 clientes em toda a cidade. Em média, o cliente gasta 25.000 na loja. No entanto, os gastos variam significativamente à medida que os clientes gastam de 22.000 a 30.000 e a média dessa variação em torno de 10.000 clientes que o gerenciamento do vista limited apresentou é de cerca de 500.
A gerência do Vista limited se aproximou de você e está interessado em saber que proporção de seus clientes gasta mais de 26.000? Suponha que os valores de gastos do cliente sejam normalmente distribuídos.
Solução:
Primeiro, traçamos o que pretendemos, que é o lado esquerdo da cura. P (Z> 26000).
Use os seguintes dados para o cálculo da distribuição normal padrão.
O cálculo da pontuação z pode ser feito da seguinte forma-
Z - pontuação = (X - µ) / σ
= (26.000 - 25.000) / 500
O Z Score será-
Pontuação Z = 2
O cálculo da distribuição normal padrão pode ser feito da seguinte forma-
A distribuição normal padrão será-
Agora, usando a tabela acima da distribuição normal padrão, temos um valor para 2,00, que é 0,9772, e agora precisamos calcular para P (Z> 2).
Precisamos do caminho certo para a mesa. Portanto, a probabilidade seria 1 - 0,9772, que é igual a 0,0228.
Conseqüentemente, 2,28% dos consumidores gastam acima de 26.000.
Relevância e Uso
Para tomar uma decisão informada e adequada, é necessário converter todas as pontuações em uma escala semelhante. É necessário padronizar esses escores, convertendo todos eles para a distribuição normal padrão pelo método do escore Z, com um único desvio padrão e uma única média ou média. Principalmente, isso é usado no campo da estatística e também no campo das finanças que também por comerciantes.
Muitas teorias estatísticas tentaram modelar os preços do ativo (nas áreas de finanças) sob a suposição principal de que eles devem seguir esse tipo de distribuição normal. As distribuições de preços tendem a ter caudas mais grossas e, portanto, curtose, que é maior que 3 em cenários da vida real. Observou-se que tais ativos têm movimentos de preço maiores do que 3 desvios-padrão além da média ou da média e mais frequentemente do que a suposição esperada em uma distribuição normal.
