Qual é a fórmula de duração?
A fórmula para a duração é uma medida da sensibilidade de um título a mudanças na taxa de juros, e é calculada dividindo a soma do fluxo de caixa futuro descontado do título e um número correspondente de anos por uma soma do dinheiro futuro descontado ingresso. A entrada de caixa é composta basicamente pelo pagamento do cupom e vencimento ao final. É também conhecida como duração Macaulay.
Matematicamente, a equação para a duração é representada como abaixo,
Fórmula de duração = (∑ i n-1 i * C i / (1 + r) i + n * M / (1 + r) n ) / (∑ i n-1 C i / (1 + r) i + M / (1 + r) n )Onde,
- C = pagamento de cupom por período
- M = valor facial ou par
- r = Taxa de juros periódica efetiva
- n = Número de períodos até o vencimento
Além disso, o denominador, que é a soma do influxo de caixa descontado do título, é equivalente ao valor presente ou preço do título. Portanto, a fórmula para a duração pode ser ainda mais simplificada conforme abaixo,
Explicação da fórmula de duração
A equação para a duração pode ser calculada usando as seguintes etapas:
Etapa 1: Em primeiro lugar, o valor nominal ou nominal da emissão do título é calculado e é denotado por M.
Passo 2: Agora, o pagamento do cupom do título é calculado com base na taxa periódica efetiva dos juros. Em seguida, a frequência do pagamento do cupom também é determinada. O pagamento do cupom é denotado por C, e a taxa de juros periódica efetiva é denotada por r.
Passo 3: Agora, o número total de períodos até o vencimento é calculado multiplicando o número de anos até o vencimento e a frequência dos pagamentos de cupom em um ano. O número de períodos até o vencimento é denotado por n. Além disso, o momento do pagamento periódico é anotado, que é denotado por i.
Etapa 4: finalmente, com base nas informações disponíveis, a equação para a duração pode ser derivada como abaixo,
Exemplos de fórmula de duração (com modelo Excel)
Vamos ver alguns tipos de fórmulas de duração de simples a avançados para entendê-la melhor.
Fórmula de Fórmula de Duração - Exemplo # 1
Tomemos um exemplo de um título com pagamentos anuais de cupom. Suponhamos que a empresa XYZ Ltd tenha emitido um título com valor de face de $ 100.000, com uma taxa de cupom anual de 7% e vencimento em 5 anos. A taxa de juros vigente no mercado é de 10% .
Dado, M = $ 100.000
- C = 7% * $ 100.000 = $ 7.000
- n = 5
- r = 10%
O denominador ou o preço do título é calculado usando a fórmula como,
- Preço do título = 84.281,19
O cálculo do numerador da fórmula de duração é o seguinte -
= (6.363,64 + 11.570,25 + 15.777,61 + 19.124,38 + 310.460,70)
= 363.296,50
Portanto, o cálculo da duração do vínculo será como abaixo,
Duração = 363.296,50 / 84.281,19
- Duração = 4,31 anos
Fórmula de fórmula de duração - Exemplo # 2
Tomemos um exemplo de um título com pagamentos anuais de cupom. Suponhamos que a empresa XYZ Ltd tenha emitido um título com valor de face de $ 100.000 e com vencimento em 4 anos. A taxa de juros vigente no mercado é de 10%. Calcule a duração do título para a seguinte taxa de cupom anual: (a) 8% (b) 6% (c) 4%
Dado, M = $ 100.000
- n = 4
- r = 10%
Cálculo para taxa de cupom de 8%
Pagamento de cupom (C) = 8% * $ 100.000 = $ 8.000
O denominador ou o preço do título é calculado usando a fórmula como,
- Preço do título = 88.196,16
O cálculo do numerador da fórmula de duração será o seguinte -
= 311.732,81
Portanto, o cálculo da duração do vínculo será como abaixo,
Duração = 311.732,81 / 88.196,16
- Duração = 3,53 anos
Cálculo para taxa de cupom de 6%
Pagamento de cupom (C) = 6% * $ 100.000 = $ 6.000
O denominador ou o preço do título é calculado usando a fórmula como,
- Preço do título = 83.222,46
O cálculo do numerador da fórmula de duração será o seguinte -
= 302.100,95
Portanto, o cálculo da duração do vínculo será como abaixo,
Duração = 302.100,95 / 83.222,46
- Duração = 63 anos
O cálculo da taxa de cupom de 4%
Pagamento de cupom = 4% * $ 100.000 = $ 4.000
O denominador ou o preço do título é calculado usando a fórmula como,
- Preço do título = 78.248,75
O cálculo do numerador da fórmula de duração será o seguinte -
= 292.469,09
Portanto, o cálculo da duração do vínculo será como abaixo,
Fórmula de duração = 292.469,09 / 78.248,75
- Duração = 3,74 anos
Pelo exemplo, pode-se ver que a duração de um título aumenta com a diminuição da taxa de cupom.
Relevância e uso da fórmula de duração
É importante entender o conceito de duração, pois ele é usado pelos investidores em títulos para verificar a sensibilidade de um título a mudanças nas taxas de juros. A duração de um título basicamente indica o quanto o preço de mercado de um título mudará devido à mudança na taxa de juros. É importante lembrar que a taxa de juros e o preço do título se movem em direções opostas e, como tal, o preço do título sobe quando a taxa de juros cai e vice-versa.
Caso os investidores busquem benefícios com a queda da taxa de juros, os investidores pretendem comprar títulos com maior duração, o que é possível no caso de títulos com menor pagamento de cupom e prazo longo. Por outro lado, os investidores que desejam evitar a volatilidade da taxa de juros, os investidores serão obrigados a investir em títulos de menor duração ou vencimento curto e maior pagamento de cupom.
