Fórmula para calcular o valor esperado
A fórmula do valor esperado é usada para calcular o valor médio de longo prazo das variáveis aleatórias disponíveis e de acordo com a fórmula a probabilidade de todos os valores aleatórios é multiplicada pelo respectivo valor aleatório provável e todos os resultantes são somados para derivar o valor esperado.
Matematicamente, a equação do valor esperado é representada como abaixo,
Valor esperado = p 1 * a 1 + p 2 * a 2 +… + p n * a n = = Σ i n P i * a i
Onde
- p i = probabilidade de valor aleatório
- a i = valor aleatório provável
Cálculo do valor esperado (passo a passo)
O cálculo do valor esperado de uma série de valores aleatórios, podemos derivar usando as seguintes etapas:
- Etapa 1: Em primeiro lugar, determine os diferentes valores prováveis. Por exemplo, diferentes retornos prováveis de ativos podem ser um bom exemplo de tais valores aleatórios. Os valores prováveis são denotados por a i .
- Passo 2: Em seguida, determine a probabilidade de cada um dos valores mencionados acima, denotados por p i . Cada probabilidade pode ser qualquer número no intervalo de 0 a 1, de modo que o total das probabilidades seja igual a um, ou seja, 0 ≤ p 1 , p 2 ,…., P n ≤ 1 e p 1 + p 2 +… . + p n = 1.
- Etapa 3: finalmente, calculamos o valor esperado de todos os diferentes valores prováveis, como o produto da soma de cada valor provável e a probabilidade correspondente conforme abaixo,
Valor esperado = p 1 * a 1 + p 2 * a 2 +… + p n * a n
Exemplos
Exemplo 1
Vejamos um exemplo de Ben, que investiu em dois títulos de sua carteira de investimentos. A taxa de retorno provável de ambos os títulos (títulos P e Q) é apresentada a seguir. Com base nas informações fornecidas, ajude Ben a decidir qual título se espera que lhe dê retornos mais elevados.
Usaremos os seguintes dados para o cálculo do valor esperado.
Nesse caso, o valor esperado é o retorno esperado de cada título.
Retorno Esperado de Segurança P
O retorno esperado de segurança P pode ser calculado como,
- Retorno esperado (P) = p 1 (P) * a 1 (P) + p 2 (P) * a 2 (P) + p 3 (P) * a 3 (P)
- = 0,25 * (-5%) + 0,50 * 10% + 0,25 * 20%
Portanto, o cálculo do retorno esperado é o seguinte,
- Retorno esperado = 8,75%
Retorno Esperado de Segurança Q
O retorno esperado de segurança Q pode ser calculado como,
- Retorno esperado (Q) = p 1 (Q) * a 1 (Q) + p 2 (Q) * a 2 (Q) + p 3 (Q) * a 3 (Q)
- = 0,35 * (-2%) + 0,35 * 12% + 0,30 * 18%
Portanto, o cálculo do retorno esperado é o seguinte,
- Retorno Esperado = 8,90%
Portanto, para Ben, espera-se que a segurança Q dê retornos maiores do que a segurança P.
Exemplo # 2
Tomemos outro exemplo onde John avaliará a viabilidade de dois projetos de desenvolvimento futuros (Projeto X e Y) e escolherá o mais favorável. De acordo com as estimativas, o Projeto X deve alcançar um valor de $ 3,5 milhões com uma probabilidade de 0,3 e um valor de $ 1,0 milhão com uma probabilidade de 0,7. Por outro lado, espera-se que o Projeto Y alcance um valor de $ 2,5 milhões, com uma probabilidade de 0,4, e um valor de $ 1,5 milhão, com uma probabilidade de 0,6. Determine para John qual projeto deverá ter um valor mais alto na conclusão.
Usaremos os seguintes dados para o cálculo do valor esperado.
Valor esperado do projeto X
O cálculo do valor esperado do Projeto X pode ser feito da seguinte forma,
- Valor esperado (X) = 0,3 * $ 3.500.000 + 0,7 * $ 1.000.000
O cálculo do valor esperado do projeto X será -
- Valor esperado (X) = $ 1.750.000
Valor esperado do projeto Y
O cálculo do valor esperado do Projeto Y pode ser feito da seguinte forma,
- Valor esperado (Y) = 0,4 * $ 2.500.000 + 0,6 * $ 1.500.000
O cálculo do valor esperado do projeto Y será -
- Valor esperado = $ 1.900.000
Portanto, na conclusão do Projeto Y, espera-se que tenha um valor maior do que o do Projeto X.
Relevância e Uso
Um analista precisa entender o conceito de valor esperado, uma vez que é usado pela maioria dos investidores para antecipar o retorno de longo prazo de diferentes ativos financeiros. O valor esperado é comumente usado para indicar o valor previsto de um investimento no futuro. Com base nas probabilidades dos cenários possíveis, o analista pode calcular o valor esperado dos valores prováveis. Embora o conceito de valor esperado seja frequentemente usado em vários modelos multivariados e análises de cenário, ele é predominantemente usado no cálculo do retorno esperado.
