O que é Bootstrapping Yield Curve?
Bootstrapping é um método para construir uma curva de juros de cupom zero. Os seguintes exemplos de bootstrapping fornecem uma visão geral de como uma curva de rendimento é construída. Embora nem todas as variações possam ser explicadas, pois há muitos métodos de bootstrapping por causa das diferenças nas convenções usadas.
3 principais exemplos de curva de rendimento de bootstrapping no Excel
A seguir estão exemplos de curva de rendimento de bootstrapping no Excel.
Exemplo 1
Considere títulos diferentes com um valor de face de $ 100, com o rendimento até o vencimento igual à taxa de cupom. Os detalhes do cupom são os seguintes:
| Maturidade | 0,5 ano | 1 ano | 1,5 ano | 2 anos |
| Rendimento até o vencimento | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Solução:
Já para um cupom zero com vencimento em 6 meses, ele receberá um cupom único equivalente ao rendimento do título. Portanto, a taxa à vista para o título de cupom zero de 6 meses será de 3%.
Para um título de 1 ano, haverá dois fluxos de caixa, em 6 meses e em 1 ano.
O fluxo de caixa em 6 meses será (3,5% / 2 * 100 = $ 1,75) e o fluxo de caixa em 1 ano será (100 + 1,75 = $ 101,75), ou seja, o pagamento do principal mais o pagamento do cupom.
A partir do vencimento de 0,5 ano, a taxa à vista ou a taxa de desconto é de 3% e vamos supor que a taxa de desconto para o vencimento de 1 ano seja x%, então
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1,0353
- 1 + x% / 2 = (1,0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1,0175
- x% = (1,0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 3,504%
Agora, novamente para um vencimento de título de 2 anos,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2,955665025 + 2,897579405 + 2,805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8.658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91,3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91,3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1,127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1,030486293
- x = 1.030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Resolvendo para x, obtemos, x = 6,097%
Da mesma forma, para um vencimento de títulos de 1,5 anos
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 4,526%
Assim, as curvas de rendimento zero bootstrapped serão:
| Maturidade | Taxas Zero |
| 0,5 ano | 3% |
| 1 ano | 3,50% |
| 1,5 ano | 4,53% |
| 2 anos | 6,10% |
Exemplo # 2
Consideremos um conjunto de títulos de cupom zero de valor de face $ 100, com vencimento em 6 meses, 9 meses e 1 ano. Os títulos são de cupom zero, ou seja, não pagam nenhum cupom durante o mandato. Os preços dos títulos são os seguintes:
| Maturidade | Preço ($) | |
| Meses | 6 | 99 |
| Meses | 9 | 98,5 |
| Ano | 1 | 97,35 |
Solução:
Considerando uma convenção de taxa linear,
FV = Preço * (1+ r * t)Onde r é a taxa de cupom zero, t é o tempo
Assim, para mandato de 6 meses:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
Para mandato de 9 meses:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
Para mandato de 1 ano:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12)
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Portanto, as taxas de rendimento de cupom zero bootstrapped serão:
| Maturidade | Cupom Zero (taxas) |
| 6 meses | 2,02% |
| 9 meses | 2,03% |
| 1 ano | 2,72% |
Observe que a diferença entre o primeiro e o segundo exemplo é que consideramos as taxas de cupom zero como lineares no exemplo 2, ao passo que elas são compostas no exemplo 1.
Exemplo # 3
Embora este não seja um exemplo direto de uma curva de rendimento de bootstrapping, às vezes é necessário encontrar a taxa entre dois vencimentos. Considere a curva de taxa zero para os seguintes vencimentos.
| Maturidade | Cupom Zero (taxas) |
| 6 | 2,50% |
| 1 ano | 3,50% |
| 3 anos | 5% |
| 4 anos | 5,50% |
Agora, se alguém precisa da taxa de cupom zero para o vencimento de 2 anos, ele precisa interpolar linearmente as taxas de zero entre 1 ano e 3 anos.
Solução:
Cálculo da taxa de desconto de cupom zero por 2 anos -
Taxa de cupom zero por 2 anos = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2- 1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Taxa de cupom zero por 2 anos = 4,25%
Portanto, a taxa de desconto de cupom zero a ser usada para o título de 2 anos será de 4,25%
Conclusão
Os exemplos de bootstrap fornecem uma visão de como as taxas zero são calculadas para a precificação de títulos e outros produtos financeiros. Deve-se olhar corretamente para as convenções de mercado para o cálculo adequado das taxas zero.
