Fórmula para calcular o Z-Score
A pontuação Z de dados brutos refere-se à pontuação gerada pela medição de quantos desvios padrão acima ou abaixo da média da população estão os dados, o que ajuda a testar a hipótese em consideração. Em outras palavras, é a distância de um ponto de dados da média da população que é expressa como um múltiplo do desvio padrão.
- Os escores z variam na faixa de -3 vezes o desvio padrão (extrema esquerda da distribuição normal) a +3 vezes o desvio padrão (extrema direita da distribuição normal).
- Os escores z têm uma média de 0 e um desvio padrão de 1.
A Equação para pontuação z de um ponto de dados é calculada subtraindo a média da população do ponto de dados (referido como x ) e, em seguida, o resultado é dividido pelo desvio padrão da população. Matematicamente, é representado como,
Pontuação Z = (x - μ) / ơ
Onde
- x = Datapoint
- μ = Média
- ơ = desvio padrão
Cálculo da pontuação Z (passo a passo)
A Equação para o z-score de um ponto de dados pode ser derivada usando as seguintes etapas:
- Etapa 1: Em primeiro lugar, determine a média do conjunto de dados com base nos pontos de dados ou observações, que são denotados por x i , enquanto o número total de pontos de dados no conjunto de dados é denotado por N.
- Etapa 2: em seguida, determine o desvio padrão da população com base na média da população μ, pontos de dados x i e o número de pontos de dados na população N.
- Etapa 3: finalmente, o z-score é derivado subtraindo a média do ponto de dados e, em seguida, o resultado é dividido pelo desvio padrão, conforme mostrado abaixo.
Exemplos
Exemplo 1
Tomemos o exemplo de uma classe de 50 alunos que fizeram o teste de ciências na semana passada. Hoje é o dia do resultado, e o professor da turma me disse que John acertou 93 no teste enquanto a pontuação média da turma foi 68. Determine a pontuação z para a nota do teste de John se o desvio padrão for 13.
Solução:
Dado,
- Pontuação do teste de John, x = 93
- Média, μ = 68
- Desvio padrão, ơ = 13
Portanto, a pontuação z para a pontuação do teste de John pode ser calculada usando a fórmula acima como,
Z = (93 - 68) / 13
O Z Score será -
Pontuação Z = 1,92
Portanto, a pontuação Ztest de John é 1,92 desvio padrão acima da pontuação média da classe, o que significa que 97,26% da classe (49 alunos) pontuaram menos do que John.
Exemplo # 2
Tomemos outro exemplo detalhado de 30 alunos (já que o teste z não é apropriado para menos de 30 pontos de dados) que compareceram a um teste de classe. Determine a pontuação do teste z para o 4º aluno com base nas notas dos alunos em 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Solução:
Dado,
- x = 65,
- 4 th estudante marcou = 65,
- Número de pontos de dados, N = 30.
Média = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Média = 71,30
Agora, o desvio padrão pode ser calculado usando a fórmula conforme mostrado abaixo,
ơ = 13,44
Portanto, a pontuação Z do 4º aluno pode ser calculada usando a fórmula acima como,
Z = (x - x) / s
- Z = (65 -30) / 13,44
- Z = -0,47
Portanto, a nota do 4º aluno está 0,47 desvio padrão abaixo da nota média da turma, o que significa que 31,92% da turma (10 alunos) acertou menos que o 4º aluno na tabela de pontuação z.
Pontuação Z no Excel (com modelo do Excel)
Agora, vamos pegar o caso mencionado no exemplo 2 para ilustrar o conceito de z-score no modelo Excel abaixo.
Abaixo estão dados para o cálculo do Z Score.
Você pode consultar a planilha do Excel fornecida abaixo para o cálculo detalhado das estatísticas do teste de fórmula de pontuação Z.
Relevância e usos
Do ponto de vista do teste de hipótese, o escore z é um conceito muito importante para entender porque é empregado para testar se uma estatística de teste cai ou não na faixa de valor aceitável. O z-score também é usado para padronizar os dados antes da análise, calcular a probabilidade de uma pontuação ou comparação de dois ou mais pontos de dados, que são de diferentes distribuições normais. Existem diversas aplicações de pontuação z em todos os campos, se aplicadas corretamente.
