Distribuição de Poisson (significado, fórmula) - Como calcular?

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O que é distribuição de Poisson?

O que é distribuição de Poisson?

Nas estatísticas, a distribuição de Poisson refere-se à função de distribuição que é usada na análise da variância que surge contra a ocorrência de um determinado evento em uma média em cada um dos intervalos de tempo, ou seja, usando este, podemos encontrar a probabilidade de um evento em específico tempo do evento e variação em relação a um número médio de ocorrências.

A Equação de Distribuição de Poisson é fornecida abaixo:

P (x; u) = (e ^-u ) * (u ^x ) / x!

Onde

u = número médio de ocorrências durante o período de tempo
P (x; u) = probabilidade de x número de instâncias durante o período de tempo
X = número de ocorrências para as quais a probabilidade precisa ser conhecida

Explicação

A fórmula é a seguinte-

P (x; u) = (e -u). (U x) / x!

Onde

u = número médio de ocorrências durante o período de tempo
X = número de ocorrências para as quais a probabilidade precisa ser conhecida
P (x; u) = probabilidade de x número de ocorrências durante o período de tempo dado que u é um número médio de ocorrências
e = número de Euler, que é a base do logaritmo natural, aprox. valor de e é 2,72
x! = É conhecido como fatorial x. O fatorial de um número é o produto desse inteiro e de todos os inteiros abaixo. Por exemplo. 4! = 4 * 3 * 2 * 1

Exemplos

Exemplo 1

Tomemos um exemplo simples de uma fórmula de distribuição de Poisson. A ocorrência média de um evento em um determinado período de tempo é 10. Qual seria a probabilidade desse evento ocorrer 15 vezes?

Neste exemplo, u = número médio de ocorrências do evento = 10

E x = 15

Portanto, o cálculo pode ser feito da seguinte forma,

P (15; 10) = e (- 10) * 10 15/15!

P (15; 10) = 0,0347 = 3,47%

Portanto, existe uma probabilidade de 3,47% desse evento ocorrer 15 vezes.

Exemplo # 2

O uso da equação de distribuição de Poisson pode ser visto visivelmente para melhorar a produtividade e a eficiência operacional de uma empresa. Ele pode ser usado para descobrir se é financeiramente viável abrir uma loja 24 horas por dia.

Digamos que o Walmart nos EUA esteja planejando abrir sua loja 24 horas por dia. Para saber a viabilidade dessa opção, em um primeiro momento, a administração do Walmart saberá o número médio de vendas entre as 12h e as 8h. Agora, ele vai calcular seu custo operacional total para o turno de trabalho das 12h às 20h. Com base nesse custo operacional, a administração do Walmart sabe qual é o número mínimo de unidades de vendas para o equilíbrio. Então, com a fórmula de distribuição de Poisson, ele vai descobrir a probabilidade desse número de vendas e ver se é viável abrir a loja 24 horas por dia ou não.

Por exemplo, digamos que o custo médio de operação em um dia seja de US $ 10.000 das 12h às 20h. As vendas médias seriam de $ 10.200 naquela época. Para o ponto de equilíbrio, as vendas diárias devem ser de $ 10.000. Agora vamos descobrir a probabilidade de vendas de $ 10.000 ou menos em um dia para que o ponto de equilíbrio possa ser alcançado

Portanto, o cálculo pode ser feito da seguinte forma,

P (10.000,10200) = DIST.POISSON (10200,10000, VERDADEIRO)

P (10.000,10200) = 97,7%

Portanto, há uma probabilidade de 97,7% para uma venda de $ 10.000 ou menos em um dia. Da mesma forma, há uma probabilidade de 50,3% para $ 10.200 ou menos dell em um dia. Isso significa que a probabilidade de vendas entre 10.000 e 10.200 é de 47,4%. Portanto, há uma boa chance de a empresa atingir o ponto de equilíbrio.

Exemplo # 3

Outro uso da fórmula de distribuição de Poisson é na indústria de seguros. Uma empresa que atua no ramo de seguros determina o valor do prêmio com base no número de sinistros e no valor reclamado por ano. Assim, para avaliar o valor do prêmio, a seguradora determinará o número médio de um valor reclamado por ano. Em seguida, com base nessa média, também determinará o número mínimo e máximo de reclamações que podem ser razoavelmente apresentadas no ano. Com base no número máximo do valor do sinistro e no custo e lucro do prêmio, a seguradora determinará que tipo se o valor do prêmio será bom para equilibrar seus negócios.

Digamos que o número médio de sinistros tratados por uma seguradora por dia seja 5. Ela descobrirá qual é a probabilidade de 10 sinistros por dia.

Portanto, o cálculo da distribuição de Poisson pode ser feito da seguinte forma,

P (10; 5) = e (- 5). 5 10/10!

P (10; 5) = 1,81%

Portanto, há muito pouca probabilidade de que a empresa tenha de 10 sinistros por dia, e ela pode fazer seu prêmio com base nesses dados.

Relevância e usos

A equação de distribuição de Poisson é muito útil para descobrir vários eventos com um determinado período de tempo e taxa conhecida. Abaixo estão alguns dos usos da fórmula:

No setor de call center, para saber a probabilidade de chamadas, que levarão mais tempo do que o normal e com base nisso, descobrir o tempo médio de espera dos clientes.
Saber o número máximo e mínimo de vendas no horário ímpar e saber se é viável abrir uma loja nesse horário.
Para descobrir a probabilidade de vários acidentes rodoviários em um intervalo de tempo.
Para descobrir a probabilidade do número máximo de pacientes chegarem em um período de tempo,
Um número de máximo e mínimo e cliques em um site.
Para descobrir os passos dos visitantes em um shopping, restaurante, etc.
Para descobrir a probabilidade de um número máximo e mínimo de sinistro em um ano.

Distribuição de Poisson no Excel

É muito fácil descobrir a distribuição de Poisson usando o Excel. Existe uma função do Excel para descobrir a probabilidade de um evento. Abaixo está a sintaxe da função

Onde

x = número de ocorrências para as quais a probabilidade precisa ser conhecida
Média = número médio de ocorrências durante o período de tempo
Cumulative = seu valor será False se precisarmos da ocorrência exata de um evento e True se um número de eventos aleatórios estiver entre 0 e aquele evento.

Tomaremos o mesmo exemplo 1 que tomamos acima. Aqui x = 15, média = 10, e teremos que encontrar a probabilidade de um número exato de eventos. Portanto, o terceiro argumento será falso.