Qual é a convexidade de um vínculo?
A convexidade de um título é uma medida que mostra a relação entre o preço do título e o rendimento do título, ou seja, a mudança na duração do título devido a uma mudança na taxa de juros, o que ajuda uma ferramenta de gerenciamento de risco a medir e gerenciar a carteira exposição ao risco de taxa de juros e risco de perda de expectativa
Explicação
Como sabemos, o preço do título e o rendimento estão inversamente relacionados, ou seja, à medida que o rendimento aumenta, o preço diminui. No entanto, essa relação não é uma linha reta, mas uma curva convexa. A convexidade mede a curvatura dessa relação, ou seja, como a duração muda com a mudança no rendimento do título.
A duração de um título é a relação linear entre o preço do título e as taxas de juros, onde, conforme as taxas de juros aumentam, o preço do título diminui. Simplificando, uma duração mais alta implica que o preço do título é mais sensível às mudanças nas taxas. Para uma mudança pequena e repentina no título, a duração do rendimento é uma boa medida da sensibilidade do preço do título. No entanto, para mudanças maiores no rendimento, a medida de duração não é eficaz porque a relação não é linear e é uma curva. Existem quatro tipos diferentes de medidas de duração, nomeadamente a duração de Macaulay, a duração modificada, a duração efetiva e a duração da taxa chave, que medem quanto tempo leva para o preço do título ser pago pelos fluxos de caixa internos. O que eles diferem é a maneira como tratam as mudanças nas taxas de juros, as opções de títulos embutidos e as opções de resgate de títulos. Eles, no entanto,não leve em consideração a relação não linear entre preço e rendimento.
A convexidade mede a sensibilidade da duração do título à mudança em seu rendimento. A convexidade é uma boa medida para mudanças no preço dos títulos com maiores flutuações nas taxas de juros. Matematicamente falando, a convexidade é a segunda derivada da fórmula para a mudança nos preços dos títulos com uma mudança nas taxas de juros e uma primeira derivada da equação da duração.
Fórmula de convexidade da ligação
Exemplo de cálculo de convexidade
Para um título de valor nominal de US $ 1.000 com um cupom semestral de 8,0% e um rendimento de 10% e 6 anos até o vencimento e um preço presente de 911,37, a duração é 4,82 anos, a duração modificada é 4,59, e o o cálculo da Convexidade seria:
Convexidade anual: Convexidade semestral / 4 = 26,2643 Convexidade semestral: 105,0573
No exemplo acima, uma convexidade de 26,2643 pode ser usada para prever a mudança de preço para uma mudança de 1% no rendimento:
Se a única duração modificada for usada:
Mudança no preço = - Duração modificada * Mudança no rendimento
Mudança no preço para aumento de 1% no rendimento = (- 4,59 * 1%) = -4,59%
Portanto, o preço diminuiria em 41,83
Para acomodar a forma convexa do gráfico, a mudança na fórmula de preço muda para:
Mudança no preço = ( - Duração modificada * Mudança no rendimento ) + ( 1/2 * Convexidade * (mudança no rendimento) 2 )
Mudança no preço para aumento de 1% no rendimento = (-4,59 * 1%) + (1/2 * 26,2643 * 1%) = -4,46%
Portanto, o preço diminuiria em apenas 40,64 em vez de 41,83
Isso mostra como, para o mesmo aumento de 1% no rendimento, a redução de preço prevista muda se a única duração for usada em comparação com a convexidade da curva de rendimento de preço também ajustada.
Portanto, o preço com um aumento de 1% no rendimento, conforme previsto pela duração modificada, é 869,54 e, conforme previsto, usando a duração modificada e a convexidade do título, é 870,74. Esta diferença de 1,12 na variação do preço deve-se ao fato de que a curva de rendimento de preços não é linear como assumido pela fórmula de duração.
Fórmula de aproximação da convexidade
Como visto, o cálculo da convexidade pode ser muito tedioso e longo, especialmente se o título for de longo prazo e tiver vários fluxos de caixa. A fórmula para a aproximação da convexidade é a seguinte:
Convexidade e gerenciamento de risco
Como pode ser visto na fórmula, a convexidade é uma função do preço do título, YTM (rendimento até o vencimento), tempo até o vencimento e a soma dos fluxos de caixa. O número de fluxos de cupom (fluxos de caixa) altera a duração e, portanto, a convexidade do título. A duração de um título zero é igual ao seu tempo até o vencimento, mas como ainda existe uma relação convexa entre seu preço e rendimento, os títulos de cupom zero têm a maior convexidade e seus preços mais sensíveis às variações no rendimento.
No gráfico acima, o Bond A é mais convexo do que o Bond B, embora ambos tenham a mesma duração e, portanto, o Bond A é menos afetado pelas mudanças nas taxas de juros.
A convexidade é uma ferramenta de gerenciamento de risco usada para definir o quão arriscado é um título quanto maior for a convexidade do título; mais é sua sensibilidade de preço aos movimentos das taxas de juros. Um título com maior convexidade tem uma variação de preço maior quando a taxa de juros cai do que um título com menor convexidade. Portanto, quando dois títulos semelhantes são avaliados para investimento com rendimento e duração semelhantes, aquele com maior convexidade é preferido em cenários de taxas de juros estáveis ou em queda, pois a mudança de preço é maior. Em um cenário de taxas de juros em queda novamente, uma convexidade maior seria melhor, pois a perda de preço por um aumento nas taxas de juros seria menor.
Convexidade positiva e negativa
A convexidade pode ser positiva ou negativa. Um título tem convexidade positiva se o rendimento e a duração do título aumentam ou diminuem juntos, ou seja, eles têm uma correlação positiva. A curva de rendimento para isso normalmente se move para cima. Esse tipo é para um título que não tem uma opção de compra ou uma opção de pré-pagamento. Os títulos têm convexidade negativa quando o rendimento aumenta, a duração diminui, ou seja, há uma correlação negativa entre o rendimento e a duração e a curva de juros se move para baixo. Normalmente, trata-se de títulos com opções de compra, títulos lastreados em hipotecas e títulos que têm uma opção de reembolso. Se o título com pré-pagamento ou opção de compra tiver um prêmio a ser pago pela saída antecipada, então a convexidade pode se tornar positiva.
Os pagamentos de cupom e a periodicidade dos pagamentos do título contribuem para a convexidade do título. Se houver mais pagamentos periódicos de cupom ao longo da vida do título, a convexidade é maior, tornando-o mais imune aos riscos de taxas de juros, pois os pagamentos periódicos ajudam a negar o efeito da mudança nas taxas de juros de mercado. Se houver um pagamento único, a convexidade é mínima, tornando o investimento mais arriscado.
Convexidade de uma carteira de títulos
Para uma carteira de títulos, a convexidade mede o risco de todos os títulos juntos e é a média ponderada dos títulos individuais sem títulos ou o valor de mercado dos títulos sendo usados como pesos.
Embora a Convexidade leve em consideração a forma não linear da curva de preço-rendimento e ajuste para a previsão da mudança de preço, ainda há algum erro, pois é apenas a segunda derivada da equação preço-rendimento. Para obter um preço mais preciso para uma mudança no rendimento, adicionar o próximo derivado resultaria em um preço muito mais próximo do preço real do título. Hoje, com sofisticados modelos de computador prevendo preços, a convexidade é mais uma medida do risco do título ou da carteira de títulos. Mais convexo o título ou a carteira de títulos menos arriscada; é porque a mudança de preço para uma redução nas taxas de juros é menor. Assim, o título, que é mais convexo, teria um rendimento menor, pois os preços de mercado teriam menor risco.
Risco de taxa de juros e convexidade
A medição do risco de um título envolve uma série de riscos. Estes incluem, mas não estão limitados a:
- Risco de mercado que muda na taxa de juros do mercado de forma não lucrativa
- Risco de pré-pagamento de o título ser reembolsado antes da data de vencimento, interrompendo os fluxos de caixa
- Risco de inadimplência de que o emissor do título não pague os juros ou o valor do principal
O risco da taxa de juros é um risco universal para todos os detentores de títulos, pois todo aumento na taxa de juros reduziria os preços e toda redução na taxa de juros aumentaria o preço do título. Este risco de taxa de juros é medido pela duração modificada e é posteriormente refinado pela convexidade. A convexidade é uma medida de risco sistêmico, pois mede o efeito da mudança no valor da carteira de títulos com uma mudança maior na taxa de juros de mercado, enquanto a duração modificada é suficiente para prever mudanças menores nas taxas de juros.
Conforme mencionado anteriormente, a convexidade é positiva para títulos regulares, mas para títulos com opções como títulos resgatáveis e títulos lastreados em hipotecas (que têm opção de pré-pagamento), os títulos têm convexidade negativa com taxas de juros mais baixas à medida que o risco de pré-pagamento aumenta. Para esses títulos com convexidade negativa, os preços não aumentam significativamente com uma redução nas taxas de juros, pois os fluxos de caixa mudam devido ao pré-pagamento e chamadas antecipadas.
À medida que o fluxo de caixa é mais espalhado, a convexidade aumenta à medida que o risco da taxa de juros aumenta com mais lacunas entre os fluxos de caixa. Portanto, a convexidade como medida é mais útil se os cupons forem mais espalhados e de menor valor. Se tivermos um título de cupom zero e uma carteira de títulos de cupom zero, a convexidade é a seguinte:
- a duração do título de cupom zero que é igual ao seu vencimento (já que há apenas um fluxo de caixa) e, portanto, sua convexidade é muito alta
- enquanto a duração da carteira de obrigações de cupom zero pode ser ajustada como a de uma única obrigação de cupom zero, variando o valor nominal e de vencimento das obrigações de cupom zero dentro da carteira. No entanto, a convexidade dessa carteira é maior do que a de um único título de cupom zero. Isso ocorre porque os fluxos de caixa dos títulos da carteira são mais dispersos do que os de um único título de cupom zero.
A convexidade dos títulos com opção de venda é positiva, enquanto a dos títulos com opção de compra é negativa. Isso porque, quando uma opção de venda está no dinheiro, se o mercado cair, você pode colocar o título, ou se o mercado subir, você preserva todos os fluxos de caixa. Isso torna a convexidade positiva. Porém, para um título com opção de compra, o emissor resgataria o título se a taxa de juros de mercado diminuísse, e se a taxa de mercado aumentasse, o fluxo de caixa seria preservado. Devido à possível mudança nos fluxos de caixa, a convexidade do título é negativa à medida que as taxas de juros diminuem.
A convexidade medida do título quando não há mudança esperada nos fluxos de caixa futuros é chamada de convexidade modificada. Quando há mudanças esperadas nos fluxos de caixa futuros, a convexidade que é medida é a convexidade efetiva.
Conclusão
A convexidade surge devido ao formato da curva de preço-rendimento. Se o gráfico de rendimento do mercado fosse plano e todas as mudanças nos preços fossem paralelas, quanto mais convexa a carteira, melhor teria seu desempenho e não haveria lugar para arbitragem. No entanto, como o gráfico de rendimento é curvo, para títulos de longo prazo, a curva de rendimento de preço é em forma de corcunda para acomodar a convexidade inferior no último prazo.
Por fim, a convexidade é uma medida do título ou da sensibilidade da carteira à taxa de juros e deve ser usada para avaliar o investimento com base no perfil de risco do investidor.
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