O que é distribuição Log normal?
Uma distribuição log-normal é uma distribuição contínua de variáveis aleatórias cujos logaritmos são distribuídos normalmente. Em outras palavras, a distribuição lognormal é gerada pela função de e x , onde x (variável aleatória) é supostamente distribuída normalmente. No logaritmo natural de e x é ox, os logaritmos de variáveis aleatórias lognormalmente distribuídas são normalmente distribuídos.
Uma variável X é normalmente distribuída se Y = ln (X), onde ln é o logaritmo natural.
- Y = e x
- Vamos supor um logaritmo natural em ambos os lados.
- lnY = ln e x que resulta em lnY = x
Portanto, podemos dizer que, se X sendo uma variável aleatória tem uma distribuição normal, então Y tem uma distribuição lognormal.
Fórmula de Distribuição Log-Normal
A fórmula para a função de densidade de probabilidade da distribuição lognormal é definida pela média μ e desvio padrão σ, que é denotado por:
Parâmetros de Distribuição Log-Normal
A distribuição log-normal é caracterizada pelos três parâmetros a seguir:
- σ , o desvio padrão do log da distribuição, também chamado de parâmetro de forma. O parâmetro de forma geralmente afeta a forma geral da distribuição lognormal, mas não afeta a localização e a altura do gráfico.
- m , a mediana da distribuição, também conhecido como parâmetro de escala.
- Θ , o parâmetro de localização que é usado para localizar o gráfico no eixo x.
A média e o desvio padrão são dois parâmetros principais da distribuição lognormal e são explicitamente definidos por esses dois parâmetros.
A figura a seguir ilustra a distribuição normal e a distribuição log-normal.
Na figura acima, podemos observar os seguintes recursos da distribuição log-normal.
- As distribuições log-normais são distorcidas positivamente para a direita devido a valores médios mais baixos e variância mais alta nas variáveis aleatórias em considerações.
- A distribuição lognormal é sempre limitada abaixo de 0, pois ajuda na modelagem dos preços dos ativos, que não devem conter valores negativos.
- A distribuição lognormal é distorcida positivamente com um grande número de pequenos valores e inclui alguns valores principais, que resultam em uma média ser maior que a moda com muita frequência.
Pela figura acima, podemos observar que a distribuição log-normal é limitada por 0, e é positivamente inclinada para a direita, o que pode ser notado por sua longa cauda para a direita. Essas duas observações são consideradas as propriedades principais das distribuições log-normais. Na prática, as distribuições log-normais se mostraram muito úteis na distribuição dos preços das ações ou ativos, enquanto a distribuição normal é muito útil para estimar os retornos esperados do ativo ao longo de um período de tempo.
Exemplos de distribuição log-normal
A seguir estão alguns exemplos onde as distribuições log-normais podem ser usadas:
- O volume de gás em energia e reserva de petróleo.
- O volume da produção de leite.
- A quantidade de chuva.
- As vidas potenciais de unidades fabris e industriais cujas chances de sobrevivência são caracterizadas pela taxa de estresse.
- A extensão dos períodos em que existe qualquer doença infecciosa.
Aplicação e usos da distribuição Log-Normal
A seguir estão os aplicativos e usos da distribuição log normal.
- A distribuição mais comumente usada e popular é uma distribuição normal, que é normalmente distribuída e simétrica e forma uma curva em forma de sino que modelou vários tipos naturais, de simples a muito complexos.
- Mas há casos em que a distribuição normal enfrenta restrições em que a distribuição log-normal pode ser facilmente aplicada. A distribuição normal pode considerar uma variável aleatória negativa, s, mas a distribuição lognormal considera apenas variáveis aleatórias positivas.
- Uma das várias aplicações em que a distribuição lognormal é usada em finanças, onde é aplicada na análise de preços de ativos. O retorno esperado sobre os ativos é representado graficamente em uma distribuição normal, mas os preços dos ativos são representados graficamente em uma distribuição lognormal.
- Com a ajuda da curva de distribuição lognormal, podemos calcular facilmente a taxa composta de retorno sobre os ativos durante um período de tempo.
- No caso de aplicarmos uma distribuição normal para calcular os preços dos ativos ao longo de um período de tempo, há possibilidades de obter retornos inferiores a -100%, o que subsequentemente assume os preços dos ativos inferiores a 0. Mas se usarmos a distribuição lognormal para estimar o composto taxa de retorno durante um período de tempo, podemos facilmente evitar a situação de obter retornos negativos, pois a distribuição lognormal considera apenas variáveis aleatórias positivas.
- Um preço relativo é o preço do ativo no final do período dividido pelo preço inicial do ativo, que é igual a 1 mais os retornos do período de detenção. Para encontrar o fim do preço do ativo do período, podemos obter o mesmo multiplicando-o pelo preço relativo vezes o preço inicial dos ativos. A distribuição lognormal assume apenas valores positivos; portanto, o preço do ativo no final do período não pode ser inferior a 0.
Distribuição Log-Normal na Modelagem de Preços de Ações de Capital
A distribuição log-normal foi usada para modelar a distribuição de probabilidade de ações e muitos outros preços de ativos. Por exemplo, observamos que o ser lognormal aparece no modelo de precificação de opções Black-Scholes-Merton, onde há uma suposição de que o preço de uma opção de ativo subjacente é lognormalmente distribuído ao mesmo tempo.
Conclusão
- A distribuição normal é a distribuição de probabilidade, que se diz ser a curva assimétrica e em forma de sino. Em uma distribuição normal, 69% do resultado cai dentro de um desvio padrão e 95% fica dentro dos dois desvios padrão.
- Devido à popularidade da distribuição normal, a maioria das pessoas está familiarizada com o conceito e a aplicação da distribuição normal, mas, no momento, elas não parecem igualmente familiarizadas com o conceito de distribuição lognormal. A distribuição normal pode ser convertida em distribuição lognormal com a ajuda de logaritmos, que se torna a base fundamental, pois as distribuições lognormal consideram a única variável aleatória que é normalmente distribuída.
- Distribuições log-normais podem ser usadas em conjunto com a distribuição normal. As distribuições log-normais são o resultado de assumir o ln, logaritmo natural em que a base é igual a e = 2,718. Além da base fornecida, a distribuição lognormal pode ser feita usando outra base, o que posteriormente impactaria a forma da distribuição lognormal.
- A distribuição lognormal representa graficamente o log de variáveis aleatórias normalmente distribuídas a partir das curvas de distribuição normal. O ln, o log natural é conhecido e, expoente ao qual uma base deve ser elevada para obter a variável aleatória desejada x, que poderia ser encontrada na curva de distribuição normal.
