O que é distribuição exponencial?
A distribuição exponencial se refere à distribuição de probabilidade contínua e constante que é realmente usada para modelar o período de tempo que uma pessoa precisa esperar antes que um determinado evento aconteça e esta distribuição é uma contrapartida contínua de uma distribuição geométrica que é distinta.
Fórmula de Distribuição Exponencial
Uma variável aleatória contínua x (com parâmetro de escala λ> 0) é dita ter uma distribuição exponencial apenas se sua função de densidade de probabilidade pode ser expressa multiplicando o parâmetro de escala para a função exponencial de parâmetro de escala negativo e x para todo x maior que ou igual a zero, caso contrário, a função de densidade de probabilidade é igual a zero.
Matematicamente, a função de densidade de probabilidade é representada como,
de modo que a média seja igual a 1 / λ e a variância seja igual a 1 / λ 2 .
Cálculo da distribuição exponencial (passo a passo)
- Passo 1: Em primeiro lugar, tente descobrir se o evento em consideração é contínuo e independente por natureza e ocorre a uma taxa aproximadamente constante. Qualquer evento prático irá garantir que a variável seja maior ou igual a zero.
- Passo 2: Em seguida, determine o valor do parâmetro de escala, que é invariavelmente o recíproco da média.
-
- λ = 1 / média
- Passo 3: Em seguida, multiplique o parâmetro de escala λ e a variável x e então calcule a função exponencial do produto multiplicada por menos um, ou seja, e - λ * x .
- Etapa 4: Finalmente, a função de densidade de probabilidade é calculada multiplicando a função exponencial e o parâmetro de escala.
Se a fórmula acima for verdadeira para todos os x maiores ou iguais a zero, então x é uma distribuição exponencial.
Exemplo
Tomemos o exemplo, x, que é a quantidade de tempo (em minutos) que um funcionário do escritório leva para entregar da mesa do gerente à mesa do funcionário. A função de tempo gasto é assumida como tendo uma distribuição exponencial com a quantidade média de tempo igual a cinco minutos.
Dado que x é uma variável aleatória contínua, pois o tempo é medido.
Média, μ = 5 minutos
Portanto, o parâmetro de escala, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Portanto, a função de probabilidade de distribuição exponencial pode ser derivada como,
f (x) = 0,20 e - 0,20 * x
Agora, calcule a função de probabilidade em diferentes valores de x para derivar a curva de distribuição.
Para x = 0
função de probabilidade de distribuição exponencial para x = 0 será,
Da mesma forma, calcule a função de probabilidade de distribuição exponencial para x = 1 a x = 30
- Para x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- Para x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- Para x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- Para x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- Para x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- Para x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- Para x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- Para x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- Para x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- Para x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- Para x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- Para x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- Para x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- Para x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- Para x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- Para x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- Para x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- Para x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- Para x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- Para x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- Para x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- Para x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- Para x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- Para x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- Para x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- Para x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- Para x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- Para x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- Para x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- Para x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- Para x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Derivamos a curva de distribuição da seguinte forma,
Relevância e Uso
Embora a suposição de uma taxa constante seja muito raramente satisfeita nos cenários do mundo real, se o intervalo de tempo for selecionado de forma que a taxa seja aproximadamente constante, então a distribuição exponencial pode ser usada como um bom modelo aproximado. Tem muitas outras aplicações no campo da física, hidrologia, etc.
Em estatística e teoria de probabilidade, a expressão de distribuição exponencial se refere à distribuição de probabilidade que é usada para definir o tempo entre dois eventos sucessivos que ocorrem independentemente e continuamente a uma taxa média constante. É uma das distribuições contínuas amplamente utilizadas e está estritamente relacionada à distribuição de Poisson no Excel.
